Докажите, что если корнями многочлена p1(x)=x^2+px+1 являются числа x1 x2, а корнями многочлена P2(x)=x^2+qx+1 Докажите, что если корнями многочлена p1(x)=x^2+px+1 являются числа x1 x2, а корнями многочлена P2(x)=x^2+qx+1- числа x3 x4 то справедливо равенство (x1-x3)(x2-x3)(x1+x4)(x2+x4)=q^2-p^2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

По условию корнями многочлена p1(x) являются числа x1 и x2, а корнями многочлена P2(x) - числа x3 и x4.

Таким образом, по определению корней многочлена, мы имеем следующие равенства:

p1(x) = (x - x1)(x - x2)
P2(x) = (x - x3)(x - x4)

Раскроем скобки в обоих многочленах:

p1(x) = x^2 - (x1 + x2)x + x1x2
P2(x) = x^2 - (x3 + x4)x + x3x4

Теперь по условию p и q - это коэффициенты при x в каждом из многочленов. Таким образом, мы имеем:

p = -(x1 + x2)
q = -(x3 + x4)

Из данных равенств можно выразить x1+x2 и x3+x4 как -p и -q соответственно:

x1 + x2 = -p
x3 + x4 = -q

Теперь выразим произведение корней многочленов p1(x) и P2(x) через коэффициенты p и q:

(x1 - x3)(x2 - x3)(x1 + x4)(x2 + x4) = ((-p) - (-q))((-p) - q)((-p) + q)((-p) + q) = (q - p)(-q - p)(q + p)(q + p) = (q^2 - p^2)^2

Таким образом, доказано, что равенство (x1 - x3)(x2 - x3)(x1 + x4)(x2 + x4) = (q^2 - p^2) содержит ошибку, правильное равенство (x1 - x3)(x2 - x3)(x1 + x4)(x2 + x4) = (q^2 - p^2)^2.