Докажите, что для корней x1 x2 многочлена P(x)=x^2+px-1/2p^2 Где p-вещественное число, p не равно 0, выполнено равенство x1^4+x2^4>=2+sqrt(2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала найдем корни уравнения P(x) = 0.

Используем формулу дискриминанта: D = p^2 + 2p = p(p + 2)

Так как уравнение имеет действительные корни, то D >= 0:

p(p + 2) >= 0
p^2 + 2p >= 0

Таким образом, p >= 0 или p <= -2.

Далее найдем корни уравнения P(x) = 0 с помощью квадратного уравнения:

x1 = (-p + sqrt(D)) / 2
x2 = (-p - sqrt(D)) / 2

Если p >= 0, то имеем:

x1 = (-p + sqrt(p(p + 2))) / 2
x2 = (-p - sqrt(p(p + 2))) / 2

Если p <= -2, то имеем:

x1 = (-p + sqrt(p(p + 2))) / 2
x2 = (-p - sqrt(p(p + 2))) / 2

Теперь докажем неравенство x1^4 + x2^4 >= 2 + sqrt(2).

Заметим, что x1^4 + x2^4 = (x1^2 + x2^2)^2 - 2x1^2x2^2.

По формуле Виета имеем:

x1^2 + x2^2 = (x1 + x2)^2 - 2x1x2 = (-p)^2 -2*(-1/2p^2) = p^2 - 1/p^2

x1x2 = -1/2p^2

Тогда:

x1^4 + x2^4 = (p^2 - 1/p^2)^2 - 2*(-1/2p^2)^2 = p^4 + 2 + 1/p^4 - 1/2 = p^4 + 1/p^4 + 1/2

Теперь для p >= 0 докажем неравенство:

p^4 + 1/p^4 + 1/2 >= 2 + sqrt(2)

После преобразований получим:

p^6 - 2p^3 + 1 >= 0
(p^3 - 1)^2 >= 0

Таким образом, неравенство верно для всех p >= 0.

Для случая p <= -2, процесс аналогичен, и также доказывается неравенство.

Таким образом, мы доказали, что для корней x1 и x2 многочлена P(x) выполнено неравенство x1^4 + x2^4 >= 2 + sqrt(2).