Привести квадратичную форму к каноническому виду 3x_1^2-7x_2^2+3x_3^2+8x_1x_2-8x_1x_3-8x_2x_3

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для того чтобы привести данную квадратичную форму к каноническому виду, необходимо привести ее к виду, в котором не будет смешанных членов.

Выполним процедуру диагонализации квадратичной формы:

Составим матрицу, соответствующую исходной квадратичной форме:

Найдем собственные значения матрицы A:
det(A - λI) = 0
det|3-λ -4 -4|
|-4 -7 4|
|-4 4 3-λ| = 0

(3-λ)((-7-λ)(3-λ)-16)-4(-4(3-λ)-(-4)(4)) = 0
(3-λ)(λ^2 - 6λ + 1) - 4(-12 + 4λ) = 0
(3-λ)(λ^2 - 6λ + 1) + 48 - 16λ = 0
3(λ^2 - 6λ + 1) - λ(λ^2 - 6λ + 1) + 48 - 16λ = 0
3λ^2 - 18λ + 3 - λ^3 + 6λ^2 - λ + 48 - 16λ = 0
-λ^3 + 9λ^2 - 35λ + 51 = 0

Собственные значения λ_1 = 1, λ_2 = 3, λ_3 = -17

Для λ_1 = 1:
(A - λ_1I)v = 0 => (A - I)v = 0
|2 -4 -4| |x| |0|
|-4 -8 4| |y| = |0|
|-4 4 2| |z| |0|

2x - 4y - 4z = 0
-4x - 8y + 4z = 0
-4x + 4y + 2z = 0

x = -2y - 2z
z = 0
x = -2y
v_1 = |-2 1 0|

Для λ_2 = 3:
(A - λ_2I)v = 0 => (A - 3I)v = 0
|0 -4 -4| |x| |0|
|-4 -10 4| |y| = |0|
|-4 4 0| |z| |0|

-4y - 4z = 0
-4x - 10y + 4z = 0
-4x + 4y = 0

x = y
-4y - 4z = 0
v_2 = |1 -1 -1|

Для λ_3 = -17:
(A - λ_3I)v = 0 => (A + 17I)v = 0
|20 -4 -4| |x| |0|
|-4 -24 4| |y| = |0|
|-4 4 20| |z| |0|

20x - 4y - 4z = 0
-4x - 24y + 4z = 0
-4x + 4y + 20z = 0

20x = 4y + 4z
-24y = 4x + 4z
20z = -4x + 4y

v_3 = |4 -4 5|

Итак, преобразуем исходную квадратичную форму к каноническому виду:

Q(x_1, x_2, x_3) = x^T Ax = x^T P^T D P x = (Px)^T D (Px) = y^TD*y, где y = Px

P = | -2 1 4|
| 1 -1 -4|
| 0 -1 5|

D = |1 0 0|
|0 3 0|
|0 0 -17|

Таким образом, канонический вид данной квадратичной формы будет:
Q(y_1, y_2, y_3) = y_1^2 + 3y_2^2 - 17y_3^2