Докажите что для уравнений ax 2+bx+c=0 - корень в интервале [-1;1]. Даны A,b,c. Причем a+с= b/2021 ни одно из чисел a,b,c не равно 0. Докажите что для уравнений ax 2+bx+c=0 - корень в интервале [-1;1].

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ не имеет корней в интервале [-1;1].

Так как a, b и c являются ненулевыми, согласно условию, то значит дискриминант уравнения $D=b^{2}-4ac$ должен быть отрицательным, так как иначе уравнение имело бы корни.

Поскольку у нас есть ограничение на сумму a и c ($a+c=\frac{b}{2021}$), воспользуемся неравенством Коши-Буняковского-Шварца:

$(a+c)(1+1) \geq (\sqrt{a} \cdot \sqrt{1} + \sqrt{c} \cdot \sqrt{1})^{2}$

$\Rightarrow b \geq (\sqrt{a} + \sqrt{c})^{2}$

Так как $D=b^{2}-4ac < 0$, то получаем:

$b^{2} < 4ac$

$b^{2} < 4 \cdot ac \leq 4 \cdot \frac{\left(\frac{b}{2021}\right)^{2}}{4} = \frac{b^{2}}{2021^{2}}$

$b^{2} \cdot 2021^{2} < b^{2}$

Это противоречие показывает, что наше предположение о том, что у уравнения нет корней в интервале [-1;1], неверно. Следовательно, уравнение $ax^{2}+bx+c=0$ имеет корень в данном интервале.