Доказать, что результат деления целого многочлена на двучлен x-a... Доказать, что результат деления целого многочлена P(x) степени n на двучлен x-a, притом что a является корнем многочлена P(x) - всегда есть целый многочлен Q(x) степени n-1, т. е., что P(x)/(x-a)=Q(x), причём Q(x) всегда выступает рациональным целым многочленом (n-1)-ой степени. Либо что результатом в этом случае не может выступать алгебраическое выражение, не являющееся целым рациональным многочленом...

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что результат деления целого многочлена на двучлен x-a всегда является целым многочленом.

Пусть P(x) = Q(x)(x-a) + R(x), где Q(x) - частное, R(x) - остаток от деления с меньшей степенью, чем x-a (т. е. R(x) = c, где c - константа).
Так как a является корнем многочлена P(x), то P(a) = 0, что более того, приводит к выражению R(a) = 0.
Таким образом, получаем P(x) = Q(x)(x-a) + c, где c - константа.
Таким образом, результат деления всегда является целым многочленом Q(x) степени n-1.

Теперь докажем, что этот многочлен является рациональным.
Поскольку Q(x) - частное от деления, его коэффициенты являются отношениями целых чисел. Таким образом, Q(x) является рациональным многочленом.

Следовательно, результат деления целого многочлена на двучлен x-a всегда является рациональным целым многочленом (n-1)-ой степени.