Задание по векторам Даны три некомпланарных вектора a, b и c. Доказать, что векторы a + 2b - c, 3a - b + c, -a + 5b - 3c компланарны.
Заранее благодарю

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства компланарности векторов a + 2b - c, 3a - b + c, -a + 5b - 3c надо показать, что их линейная комбинация равна нулевому вектору.

Предположим, что существуют такие числа x, y, z, что x(a + 2b - c) + y(3a - b + c) + z(-a + 5b - 3c) = 0.

Раскроем скобки и преобразуем выражение:
xa + 2xb - xc + 3ya - yb + yc - xa + 5yb - 3zc = 0,
после сокращения подобных членов получим:
(2x - y - z)a + (2x + 3y + 5z)b + (-x + y - 3z)c = 0.

Так как векторы a, b и c некомпланарны, то массив (2x - y - z, 2x + 3y + 5z, -x + y - 3z) должен быть равен нулевому вектору. Значит, x = y = z = 0.

Следовательно, векторы a + 2b - c, 3a - b + c, -a + 5b - 3c действительно компланарны.