Олимпиадная задача по алгебре Назовём натуральное число x особым, если существует такое натуральное число y, что 0<x3−y2<x. Докажите, что существует бесконечно много особых чисел.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала заметим, что если число x является особым, то и число x+n*x^2 также будет особым при любом натуральном n.

Доказательство:
Пусть для числа x существует натуральное число y, такое что 0<x^3-y^2<x. Подставим x+nx^2 в данное неравенство:
0<(x+nx^2)^3-y^2<(x+nx^2)
0<x^3+3nx^4+3n^2x^5+n^3x^6-y^2<x+nx^2
После преобразований получаем:
0<nx^2(3x+3nx^2+n^2x^3)<x+nx^2
Таким образом, число x+n*x^2 также является особым.

Теперь покажем, что существует бесконечно много особых чисел.
Возьмем число x=2 и число y=1. Тогда выполняется неравенство: 0<2^3-1^2<2. Это значит, что число 2 является особым. Из доказанного выше следует, что число 2+n*2^2 также будет являться особым при любом натуральном n. Таким образом, получаем бесконечное количество особых чисел.

Таким образом, доказано, что существует бесконечно много особых чисел.