Вычислить значение производной dz/dt сложной функции z = z(x, y), где x = x(t), y = y(t), при t = t0. Вычислить значение производной dz/dt сложной функции z = z(x, y), где x = x(t), y = y(t), при t = t0
z = ln (e^x + e^y), x = t^2, y = t^3, t0 = 1.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения производной dz/dt сложной функции z(x, y) необходимо воспользоваться правилом дифференцирования сложной функции.

Исходная функция
z = ln(e^x + e^y)

Подставляем значения x = t^2 и y = t^3
z = ln(e^(t^2) + e^(t^3))

Вычисляем производную по t от z
dz/dt = d/dt ln(e^(t^2) + e^(t^3)) = 1/(e^(t^2) + e^(t^3)) * (d/dt (e^(t^2)) + d/dt (e^(t^3)))

Вычисляем производные e^(t^2) и e^(t^3)
d/dt (e^(t^2)) = 2t e^(t^2
d/dt (e^(t^3)) = 3t^2 e^(t^3)

Подставляем вычисленные производные
dz/dt = 1/(e^(t^2) + e^(t^3)) (2t e^(t^2) + 3t^2 * e^(t^3))

При t = t0 = 1
dz/dt = 1/(e^(1^2) + e^(1^3)) (21 e^(1^2) + 31^2 e^(1^3)) = 1/(e + e) (2e + 3e) = 1/(2e) * 5e = 5/2

Таким образом, значение производной dz/dt сложной функции при t = 1 равно 5/2.