Решение задачи на многочлен Пусть P(х) =а0 +а1 *х+...+аn *х^n. Где n больше или равен 0- многочлен с наименьшей возможной степенью, для которого P(корень из 3 плюс корень из 2)= корень из 3 минус корень из 2 найдите P(2)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку P(корень из 3 плюс корень из 2) = корень из 3 минус корень из 2, то подставляем корни в многочлен:

P(корень из 3 плюс корень из 2) = a0 + a1(√3 + √2) + ... + an(√3 + √2)^n = √3 - √2

Раскрываем скобки в выражении an(√3 + √2)^n и имеем:

a0 + a1√3 + a1√2 + a2(3√3 + 2√3 + 3√2 + 2√2) + ... + an(√3 + √2)^n = √3 - √2

Так как корень из 3 и корень из 2 линейно независимы, то коэффициенты при них должны быть равны между собой.

Из этого следует, что a1 = a2 = ... = an = 0, так как в противном случае слева останется хотя бы одно слагаемое с множителями корня из 3 и корня из 2.

Таким образом, остается только слагаемое a0, иначе равенство справедливым не будет:

a0 = √3 - √2

Теперь найдем P(2):

P(2) = a0 + a12 + ... + an2^n = a0 = √3 - √2

Итак, P(2) = √3 - √2.