Задача по геометрии по теме "Подобные треугольники" В треугольнике АВС медиана ВК с серединой Р. СР пересекает АВ в точке М. ПлощадьАМРК 50 кв. см. Найти площадь АВС.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение:

Пусть S - площадь треугольника ABC.

Так как медиана ВК делит треугольник на два подобных треугольника, то отношение площадей треугольников ВКМ и ВАМ равно отношению квадратов сторон, стоящих напротив угла при вершине А:

(\frac{S{BCM}}{S{BAM}} = (\frac{BC}{BA})^2)

Так как треугольники BCM и ВАС подобны, то отношение сторон треугольников BCM и ВАС равно отношению сторон BCM и ВМ:

(\frac{S{BVK}}{S{VKC}} = (\frac{BC}{VM})^2)

Так как треугольники ВКМ и ВКС подобны, то отношение сторон треугольников ВМК и ВКС равно отношению сторон МС и МВ:

(\frac{S{BVK}}{S{VKC}} = (\frac{MC}{MB})^2)

Так как S{AMR} = 50 кв.см, то равенство S{AMR} = S{BAM} = S{AMK} выполняется, а значит:

(\frac{S{BCM}}{S{BAK}} = (\frac{BC}{BA})^2 = (\frac{BC}{VM})^2 * (\frac{MC}{MB})^2 = \frac{VM}{MB}^2)

Так как отношение сторон ВМ и BM равно 2, то:

(\frac{BC}{BA} = 2)

Отсюда получаем, что BC:BA = 2:1.

По формуле для медианы треугольника получаем, что AM = MC.

Так как треугольники BCM и ВАС подобны с коэффициентом 1:2, то AC = 2*BC.

Площадь треугольника ABC равна:

S = 1/2 BC AC = 1/2 BC 2 * BC = BC^2 = (S{AMR} + S{AMK}) = 50 + 50 = 100 кв.см.

Итак, площадь треугольника ABC равна 100 кв.см.