Задача на соотношение медианы, биссектрисы и высоты треугольника Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC.

Пусть D – середина стороны BC (точка, в которой Медиана AM пересекает сторону BC), H – основание высоты, проведенной из вершины A, E – точка пересечения биссектрисы AE с стороной BC.

Очевидно, что треугольники AHD и ABD подобны, так как у них углы при вершине A равны (так как AD и HD являются биссектрисой и высотой треугольника ABC). Соответственно, мы имеем следующие отношения:
AH/AB = HD/AD
AH/AB = HD/(BD – HD)
AH = HD * AB/(BD – HD)

Так как центральная сила гомотетии, осуществляющей подобие треугольников ABD и AHD, равна 1/2 (так как точка M – середина стороны BC, то есть BD = 2DM), то можно записать следующее отношение:
HD = 2*DM

Таким образом, после подстановки вышеполученных равенств, получаем:
AH = 2DM AB/(2DM – DM)
AH = 2AB

Таким образом, получаем, что высота AH равна половине стороны AB, а медиана AM равномерно делит сторону BC пополам (так как D – середина стороны BC).

Так как точка Е лежит на стороне BC, то отношение BE/EC = AB/AC. Также, так как у нас есть два угла при вершине А за одинаковые, то треугольники ABE и ACE подобны, что дает нам отношение:
BE/AB = CE/AC

Так как BE + EC = BC, можно представить BE и EC через отношение сторон треугольника ABC:
BE = BC AB/(AB + AC)
EC = BC AC/(AB + AC)

Теперь мы можем представить точку E через отношение сторон треугольника ABC:
BE = BC AB/(AB + AC)
BE = (AB BC + AB * AC)/2(AB + AC)
BE = AB/2

Таким образом, точка E лежит на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль стороны BC, а точка H на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль высоты. Так как H находится "внутри" треугольника, а E "снаружи", то биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.