Задача на соотношение медианы, биссектрисы и высоты треугольника Докажите, что в любом треугольнике ABC биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Пусть D – середина стороны BC (точка, в которой Медиана AM пересекает сторону BC), H – основание высоты, проведенной из вершины A, E – точка пересечения биссектрисы AE с стороной BC.
Очевидно, что треугольники AHD и ABD подобны, так как у них углы при вершине A равны (так как AD и HD являются биссектрисой и высотой треугольника ABC). Соответственно, мы имеем следующие отношения AH/AB = HD/A AH/AB = HD/(BD – HD AH = HD * AB/(BD – HD)
Так как центральная сила гомотетии, осуществляющей подобие треугольников ABD и AHD, равна 1/2 (так как точка M – середина стороны BC, то есть BD = 2DM), то можно записать следующее отношение HD = 2*DM
Таким образом, после подстановки вышеполученных равенств, получаем AH = 2DM AB/(2DM – DM AH = 2AB
Таким образом, получаем, что высота AH равна половине стороны AB, а медиана AM равномерно делит сторону BC пополам (так как D – середина стороны BC).
Так как точка Е лежит на стороне BC, то отношение BE/EC = AB/AC. Также, так как у нас есть два угла при вершине А за одинаковые, то треугольники ABE и ACE подобны, что дает нам отношение BE/AB = CE/AC
Так как BE + EC = BC, можно представить BE и EC через отношение сторон треугольника ABC BE = BC AB/(AB + AC EC = BC AC/(AB + AC)
Теперь мы можем представить точку E через отношение сторон треугольника ABC BE = BC AB/(AB + AC BE = (AB BC + AB * AC)/2(AB + AC BE = AB/2
Таким образом, точка E лежит на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль стороны BC, а точка H на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль высоты. Так как H находится "внутри" треугольника, а E "снаружи", то биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.
Для доказательства данного утверждения рассмотрим произвольный треугольник ABC.
Пусть D – середина стороны BC (точка, в которой Медиана AM пересекает сторону BC), H – основание высоты, проведенной из вершины A, E – точка пересечения биссектрисы AE с стороной BC.
Очевидно, что треугольники AHD и ABD подобны, так как у них углы при вершине A равны (так как AD и HD являются биссектрисой и высотой треугольника ABC). Соответственно, мы имеем следующие отношения
AH/AB = HD/A
AH/AB = HD/(BD – HD
AH = HD * AB/(BD – HD)
Так как центральная сила гомотетии, осуществляющей подобие треугольников ABD и AHD, равна 1/2 (так как точка M – середина стороны BC, то есть BD = 2DM), то можно записать следующее отношение
HD = 2*DM
Таким образом, после подстановки вышеполученных равенств, получаем
AH = 2DM AB/(2DM – DM
AH = 2AB
Таким образом, получаем, что высота AH равна половине стороны AB, а медиана AM равномерно делит сторону BC пополам (так как D – середина стороны BC).
Так как точка Е лежит на стороне BC, то отношение BE/EC = AB/AC. Также, так как у нас есть два угла при вершине А за одинаковые, то треугольники ABE и ACE подобны, что дает нам отношение
BE/AB = CE/AC
Так как BE + EC = BC, можно представить BE и EC через отношение сторон треугольника ABC
BE = BC AB/(AB + AC
EC = BC AC/(AB + AC)
Теперь мы можем представить точку E через отношение сторон треугольника ABC
BE = BC AB/(AB + AC
BE = (AB BC + AB * AC)/2(AB + AC
BE = AB/2
Таким образом, точка E лежит на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль стороны BC, а точка H на расстоянии AB/2 от вершины A вдоль высоты. Так как H находится "внутри" треугольника, а E "снаружи", то биссектриса AE лежит между медианой AM и высотой AH.