Для начала найдем векторы \vec{a} и \vec{b}:
|\vec{a}| = 3
|\vec{b}| = 2\sqrt{3}
(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(30^\circ) = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9
Теперь найдем векторы \vec{p} и \vec{q}:
\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b} = 2\begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \cos(30^\circ) \ 2\sqrt{3} \sin(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sqrt{3} \ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - \sqrt{3} \ -\sqrt{3} \end{pmatrix}
\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \cos(30^\circ) \ 2\sqrt{3} \sin(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \sqrt{3} \ \sqrt{3} \end{pmatrix}
Теперь найдем скалярное произведение векторов \vec{p} и \vec{q}:
\vec{p} \cdot \vec{q} = (6-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 18 - 3 + 6\sqrt{3} - 3 = 12 + 6\sqrt{3}.
Ответ: \vec{p} \cdot \vec{q} = 12 + 6\sqrt{3}.
Для начала найдем векторы \vec{a} и \vec{b}:
|\vec{a}| = 3
|\vec{b}| = 2\sqrt{3}
(\vec{a}, \vec{b}) = |\vec{a}||\vec{b}|\cos(30^\circ) = 3 \cdot 2\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 9
Теперь найдем векторы \vec{p} и \vec{q}:
\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b} = 2\begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \cos(30^\circ) \ 2\sqrt{3} \sin(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \ 0 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sqrt{3} \ \sqrt{3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 - \sqrt{3} \ -\sqrt{3} \end{pmatrix}
\vec{q} = \vec{a} + \vec{b} = \begin{pmatrix} 3 \ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 2\sqrt{3} \cos(30^\circ) \ 2\sqrt{3} \sin(30^\circ) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 + \sqrt{3} \ \sqrt{3} \end{pmatrix}
Теперь найдем скалярное произведение векторов \vec{p} и \vec{q}:
\vec{p} \cdot \vec{q} = (6-\sqrt{3})(3+\sqrt{3}) + (-\sqrt{3})(\sqrt{3}) = 18 - 3 + 6\sqrt{3} - 3 = 12 + 6\sqrt{3}.
Ответ: \vec{p} \cdot \vec{q} = 12 + 6\sqrt{3}.