Для начала разложим числитель и знаменатель на множители:

x^2 + 13x - 24 = (x + 16)(x - 3)
4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3)

Теперь выразим дробь в виде суммы простых дробей:

(x + 16)(x - 3) / (2x + 3)(2x - 3) = A/(2x + 3) + B/(2x - 3)

Умножим обе части уравнения на (2x + 3)(2x - 3), получим:

x + 16 = A(2x - 3) + B(2x + 3)

Подставляем значения x = 3 и x = -3, чтобы найти коэффициенты A и B:

При x = 3: 3 + 16 = A(23 - 3) + B(23 + 3)
19 = 3A + 9B

При x = -3: -3 + 16 = A(2*(-3) - 3) + B(2(-3) + 3)
13 = -3A - 3B

Решим систему уравнений:

19 = 3A + 9B
13 = -3A - 3B

Умножаем второе уравнение на 3:

19 = 3A + 9B
39 = -9A - 9B

Сложим оба уравнения:

58 = -6A
A = -58/6 = -29/3

Подставляем значение A во второе уравнение:

19 = 3*(-29/3) + 9B
19 = -29 + 9B
9B = 48
B = 48/9 = 16/3 = 5(1/3)

Итак, исходная дробь может быть представлена как:

(-29/3)/(2x + 3) + (16/3)/(2x - 3)