Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на сумму этих чисел. Докажите, что сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на сумму этих
чисел.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть у нас есть три последовательных натуральных числа: n, n+1, n+2.

Сумма этих чисел будет равна (n + n+1 + n+2) = 3n + 3.

Сумма их кубов будет равна n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3.

Раскроем скобки:

n^3 + (n+1)^3 + (n+2)^3 = n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8)

Просуммируем все слагаемые:

n^3 + (n^3 + 3n^2 + 3n + 1) + (n^3 + 6n^2 + 12n + 8) = 3n^3 + 9n^2 + 15n + 9.

Теперь поделим сумму кубов на сумму чисел:

(3n^3 + 9n^2 + 15n + 9) / (3n + 3) = n^2 + 2n + 3.

Мы видим, что получившееся выражение является целым числом, следовательно, сумма кубов трёх последовательных натуральных чисел делится на сумму этих чисел.