Треугольник `ABC` со сторонами `AB=5`, `BC=8`, `AC=7` вписан в окружность. Найти расстояние от точки `C` до касательной к окружности, проходящей через точку `A`.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи воспользуемся свойством вписанного угла: угол, образованный хордой и касательной, равен половине угла, образованного хордой и дугой окружности.

Обозначим точку касания касательной к окружности и точку A через D. Тогда AC будет высотой треугольника ADC, а AD - медианой.

Так как треугольник ABC правильный, то он равнобедренный, из чего следует, что AD является медианой и высотой остроугольного треугольника ADC. Таким образом, AD является биссектрисой угла C треугольника ADC.

Так как AB - смежный с AD катет, то треугольник ABD - прямоугольный, а значит, по теореме Пифагора, BD = √(AB² - AD²) = √(5² - ((7*5)/12)²) = √(25 - 25/3) = √(50/3).

Теперь посчитаем длину отрезка на касательной, соединяющего точку C с точкой касания касательной и окружности.

Так как касательная проходит через точку A, то треугольник ADB - подобен TCD. Тогда отношение сторон будет соответственным: AD/CD = AB/TD. Так как AB=5, AD=7, BD=√(50/3), то получаем, что √(50/3)/CD = 5/3, откуда CD = 3√(50/3)/5 = √(50/3)/5 = √(3)/3.

Получаем, что расстояние от точки C до касательной составляет √(3)/3.