Задача по геометрии На сторонах ac ab bc прямоугольного треугольника abc с прямым углом c отмечены точки k l и m соответственно что klmc квадрат
докажите, что kl=ac*ab/ac+bc
найдите Sklmc, если Sakl=8, Slmb=18

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала докажем, что (KL = \frac{AC \cdot AB}{AC + BC}).

Рассмотрим прямоугольный треугольник (ABC) с прямым углом (C). Пусть (H) - середина гипотенузы (AB) (точка, в которой пересекаются высота и медиана). Тогда треугольники (AKH) и (CKL) подобны по двум углам, так как у них совпадают углы (K) и (C), и третий угол равен прямому углу, следовательно, (\angle A = \angle C) и (\angle K = \angle L).

Так как треугольники подобны, то (\frac{KL}{HL} = \frac{CK}{AK} = \frac{CK}{AC}), следовательно, (KL = HL \cdot \frac{CK}{AC}).
Также, так как (\triangle ABC) - прямоугольный и (H) - середина гипотенузы, то (HL = \frac{AC}{2}, CK = BC). Подставляя это в формулу, получаем: (KL = \frac{AC \cdot BC}{2 \cdot AC} = \frac{AC \cdot BC}{AC + BC}.)

Теперь найдем площадь квадрата (KLMC). Очевидно, что (S_{KLMC} = KL^2).

Известно, что (S{AKL} = 8) и (S{LMB} = 18). Так как (KLMC) - квадрат, то (S{KLMC} = S{AKL} + S{LMB}).
Следовательно, (S{KLMC} = 8 + 18 = 26.)

Таким образом, (KL = \frac{AC \cdot AB}{AC + BC}), (S_{KLMC} = 26.)