Решите уравнение 25 ctg^2 x - 18 cos^2 x = 12

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем уравнение, используя тригонометрические тождества:

ctg^2 x = cos^2 x / sin^2 x

Подставим это значение в исходное уравнение:

25 * (cos^2 x / sin^2 x) - 18 cos^2 x = 12

Умножим все части уравнения на sin^2 x, чтобы избавиться от знаменателя:

25 cos^2 x - 18 cos^2 x * sin^2 x = 12 sin^2 x

Перепишем уравнение:

25cos^2 x -18cos^2 x(1-sin^2 x)=12sin^2 x.

Вынесем общий множитель:

cos^2 x(25 - 18(1 - sin^2 x))=12sin^2 x.

Раскроем скобки и упростим:

cos^2 x(25 - 18 + 18sin^2 x) = 12sin^2 x

cos^2 x(7 + 18sin^2 x) = 12sin^2 x

7cos^2 x + 18cos^2 x * sin^2 x = 12sin^2 x

Теперь заменим cos^2 x на 1 - sin^2 x:

7(1-sin^2 x) + 18(1 - sin^2 x)sin^2 x = 12sin^2 x

7 - 7sin^2 x + 18sin^2 x - 18sin^4 x = 12sin^2 x

Перенесем все члены в одну часть уравнения и приведем подобные:

18sin^4 x - 29sin^2 x + 7 = 0

Полученное уравнение является квадратным по sin^2 x. Решим его с помощью дискриминанта:

D = 29^2 - 4 18 7 = 841 - 504 = 337

sin^2 x = (29 +/- sqrt(337)) / 36

sin x = sqrt((29 +/- sqrt(337)) / 36)

Таким образом, уравнение имеет два корня и может быть решено аналитически.