Найти наибольшее и наименьшее значение функции f(x) на заданном интервале: f(x)=2x^3 - 12x^2 + 18x + 3; [-1;2]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции f(x) на заданном интервале необходимо найти экстремумы функции в этом интервале.

Сначала найдем производную функции f(x):
f'(x) = 6x^2 - 24x + 18.

Теперь найдем стационарные точки (экстремумы) функции f(x), приравняв производную к нулю и решив уравнение:
6x^2 - 24x + 18 = 0
x^2 - 4x + 3 = 0
(x-1)(x-3) = 0
x = 1 или x = 3.

Поскольку x должен принадлежать интервалу [-1;2], то рассмотрим только точку x = 1.

Теперь найдем значение функции f(x) в найденной точке x = 1:
f(1) = 21^3 - 121^2 + 18*1 + 3 = 2 - 12 + 18 + 3 = 11.

Таким образом, наибольшее значение функции f(x) на интервале [-1;2] равно 11.

Теперь найдем значение функции на краях интервала:
f(-1) = 2(-1)^3 - 12(-1)^2 + 18(-1) + 3 = -2 - 12 - 18 + 3 = -29.
f(2) = 22^3 - 122^2 + 182 + 3 = 16 - 48 + 36 + 3 = 7.

Таким образом, наименьшее значение функции f(x) на интервале [-1;2] равно -29, а наибольшее значение равно 11.