Числитель несократимой дроби на 2 меньше знаменателя. Если знаменатель увеличить в 3 раза, а числитель -на 13, то сумма полученной дроби и данной будет равна дроби, обратной данной. Найдите данную дробь. В ответе укажите сумму числителя и знаменателя. А) 1 Б) -6 В) 8 Г) 6

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано: пусть исходная дробь равна a/b, где НОД(a,b)=1. Тогда a = b-2.
После увеличения знаменателя в 3 раза и числителя на 13, получаем новую дробь: (b+13) / (3b).
Составим уравнение по условию задачи:
a/b + (b+13) / (3b) = b / (b-2)
a/b + (b+13) / (3b) = 1 - 2 / (b-2).
Подставляем a = b-2, и получаем:
(b-2) / b + (b+13) / (3b) = 1 - 2 / (b-2).
Упрощаем выражение:
(b-2+3b+13) / (3b) = (b^2 - 2) / (b-2)
(4b+11) / (3b) = (b^2 - 2) / (b-2)
(4b+11) (b-2) = 3b (b^2 - 2)
4b^2 - 8b + 11b - 22 = 3b^3 - 6b
4b^2 + 3b^3 - 14b + 22 = 0
b(4 + 3b) - 14 + 22 = 0
3b^2 + 4b - 8 = 0
(b+2)(3b-4)=0
b = -2 или b = 4
Так как b > 0, то b = 4, a=b-2=2.
Следовательно, данная дробь равна 2/4 = 1/2.
Сумма числителя и знаменателя равна 1+2=3.
Ответ: 3.