Положительные x, y, z таковы, что 2x+3y+4z=xyz. Найдите минимальное значение выражения 3xy+6yz+4xz. Положительные x, y, z таковы, что 2x+3y+4z=xyz. Найдите минимальное значение выражения 3xy+6yz+4xz.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Дано, что 2x+3y+4z=xyz.

Заметим, что выражение 3xy+6yz+4xz можно переписать в виде:

3xy + 6yz + 4xz = 2xy + xy + 6yz + 2yz + 4xz = xy(2+y) + 2z(3y+2x) = xy(2+y) + 2z(2x + 3y)

Теперь заметим, что по неравенству о средних арифметическом и геометрическом:

xy(2+y) <= ((2+y)^2)/4
2z(2x + 3y) <= ((2x+3y)^2)/4

Тогда:

xy(2+y) + 2z(2x + 3y) <= ((2+y)^2)/4 + ((2x+3y)^2)/4

Нам осталось найти минимальное значение правой части:

((2+y)^2)/4 + ((2x+3y)^2)/4 = (4+4y+y^2 + 4x^2 + 12xy + 9y^2)/4 = (4x^2 + 16xy + 10y^2 + 4)/4 = x^2 + 4xy + 2.5y^2 + 1

Таким образом, минимальное значение выражения 3xy+6yz+4xz равно 1.

Ответ: 1.