При каком x∈[0,1] функция x(1−x)^3 принимает наибольшее значение? При каком x∈[0,1] функция x(1−x)^3 принимает наибольшее значение?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Функция f(x) = x(1-x)^3 имеет максимум на отрезке [0,1] в точке x=1/2.
Чтобы найти это значение, можно взять производную функции f(x) и найти ее нули:

f'(x) = (1-x)^3 - 3x(1-x)^2 = (1-x)^2(1-4x) = 0

Отсюда получаем два решения: x=1 и x=1/4. Однако x=1 выходит за пределы интервала [0,1], поэтому рассматриваем только x=1/4.
Подставляя это значение обратно в исходное уравнение, получаем:

f(1/4) = 1/4 (1-1/4)^3 = 1/4 (3/4)^3 = 27/256

Итак, наибольшее значение функции x(1-x)^3 равно 27/256 и достигается при x=1/2.