Произведение положительных чисел a, b, c, d равно 1 Пусть x — некоторое фиксированное действительное число такое, что наименьшее значение выражения 1/a+2/b+3/c+x/d равно 8. Найдите x.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения x найдем значения a, b, c, d, при которых выражение 1/a+2/b+3/c+x/d принимает минимальное значение, равное 8.

Так как произведение положительных чисел a, b, c, d равно 1, то найдем минимальное значение выражения 1/a+2/b+3/c+x/d при данных условиях.

Применим неравенство о средних:

(1/a + 2/b + 3/c + x/d)/7 ≥ (1^1/7 2^1/7 3^1/7 * x^1/7) = (6xd)^(1/7)

(1/a + 2/b + 3/c + x/d) ≥ 7(6xd)^(1/7) = 7(6xd)^(-1/7) = 7/(6xd)^(1/7)

Так как минимальное значение равно 8, получаем:

7/(6xd)^(1/7) = 8

1 = 8(6xd)^(1/7)/7

7/8 = (6xd)^(1/7)

7^7/8^7 = 6xd

Таким образом, x = 7^7/8^7 6^(-1) ((a b c)^(4/7))