Вычислить ∫Cz¯⋅Imzdz, С – дуга окружности |z|=1, 0≤arg⁡z≤π/2. Вычислить ∫Cz¯⋅Imzdz, С – дуга окружности |z|=1, 0≤arg⁡z≤π/2.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Используя формулу для вычисления интеграла от комплексной функции f(z) = u(z) + iv(z) по кривой C:
∫Cf(z)dz = ∫C(u(z)dx - v(z)dy) + i∫C(v(z)dx + u(z)dy),

где dz = dx + idy, z = x + iy, C задана параметризацией x(t), y(t), a ≤ t ≤ b, выразим x и y через параметр t:

Если z = cos(t) + isin(t) и t принадлежит диапазону [0, π/2], тогда x(t) = cos(t), y(t) = sin(t).

Тогда z¯ = cos(t) - isin(t), Im(z) = sin(t), Im(z)dz = cos(t)dx + sin(t)dy = -sin²(t)dt.

Таким образом, ∫Cz¯⋅Imzdz = -∫C(sin(t)cos(t) - isin²(t))dt = -∫C(sin(t)cos(t))dt = -∫C(1/2sin(2t))dt.

Интегрируя по дуге С = [0, π/2], получим:

-∫C(1/2sin(2t))dt = -1/4[sin(π) - sin(0)] = -1/4(0 - 0) = 0.

Итак, ∫Cz¯⋅Imzdz = 0.