Задания по общей алгебре В циклической группе порядка 105 найти все елементи порядка 15
Разложить многочлен на несводимые множители над полем С: f(x)=x^4+4
Решить систему уравнений 2х-у=5 х-2у=10 в кольце Z18

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

В циклической группе порядка 105 элементы порядка 15 будут являться образующими подгруппы порядка 15. Так как 15 и 105 не имеют общих делителей, то порядка 15 будет ровно 1. Итак, в циклической группе порядка 105 найдется только один элемент порядка 15, который будет являться образующим подгруппы порядка 15.

Для разложения многочлена f(x) на неприводимые множители над полем С сначала находим корни уравнения f(x) = x^4 + 4 = 0.
Для этого решаем уравнение x^4 = -4. Корни данного уравнения: x = ±(√2 + √2i), x = ±(√2 - √2i).

Следовательно, разложение многочлена f(x) на неприводимые множители над полем С будет иметь вид: f(x) = (x - (√2 + √2i))(x + (√2 + √2i))(x - (√2 - √2i))(x + (√2 - √2i)).

Сначала приводим систему к упрощенному виду:
2x - y ≡ 5 (mod 18) => 2x ≡ y + 5 (mod 18) => x ≡ (y + 5) / 2 (mod 18)
x - 2y ≡ 10 (mod 18) => x ≡ 2y + 10 (mod 18)

Подставляем выражение для x из первого уравнения во второе уравнение:
(y + 5) / 2 ≡ 2y + 10 (mod 18)

Умножаем обе части последнего выражения на 2, чтобы убрать деление:
y + 5 ≡ 4y + 20 (mod 18)
3y ≡ 15 (mod 18)
Получившееся уравнение имеет бесконечное количество решений в кольце Z18.