Сумма одиннадцати неотрицательных чисел равна 30, а сумма их квадратов равна 90. Сумма одиннадцати неотрицательных чисел равна 30, а сумма их квадратов равна 90. Найдите наибольшее возможное значение самого большого числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть x1, x2, ..., x11 - неотрицательные числа.

Тогда:
x1 + x2 + ... + x11 = 30
x1^2 + x2^2 + ... + x11^2 = 90

Мы хотим найти наибольшее возможное значение самого большого числа, пусть это число равно x_max.

Предположим, что все числа равны между собой, то есть x1 = x2 = ... = x11. Тогда:
11x_max = 30, откуда x_max = 30 / 11 = 2.7272...
Тогда сумма квадратов равна 11x_max^2 = 11 * (2.7272...)^2 ≈ 86.6667. Это меньше 90, значит, все числа не могут быть равны.

Попробуем другой подход. Предположим, что одно число равно x_max, а остальные равны между собой и равны y. Тогда:
x_max + 10y = 30 (1)
x_max^2 + 10y^2 = 90 (2)

Из уравнения (1) можно выразить y через x_max:
y = (30 - x_max) / 10

Подставим это выражение в уравнение (2) и решим получившееся уравнение относительно x_max:
x_max^2 + 10((30 - x_max) / 10)^2 = 90
x_max^2 + (30 - x_max)^2 = 90
x_max^2 + 900 - 60x_max + x_max^2 = 90
2x_max^2 - 60x_max + 810 = 0
x_max^2 - 30*x_max + 405 = 0
(x_max - 15)^2 = 0
x_max = 15

Таким образом, наибольшее возможное значение самого большого числа равно 15.