Решите тригонометрические уравнения: 1. 2sin 2 x – 5sin x – 7 = 0 2. 12sin 2 x + 20cos x – 19 = 0 3. 3sin 2 x + 14sin x cos x + 8cos 2 x = 0 4. 7 tg x – 10ctg x + 9 = 0 5 . 5sin 2 x – 14cos 2 x + 2 = 0 6 . 9cos 2 x – 4cos 2 x = 11sin 2 x + 9

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть t = sin x. Тогда уравнение примет вид 2t^2 - 5t - 7 = 0. Решив это квадратное уравнение, найдем два значения t: t1 = 7/2, t2 = -1/2. Так как sin x находится в диапазоне [-1, 1], то t2 = -1/2 аннулируется. Итак, sin x = 7/2, что не является решением. Уравнение не имеет решений.

Пусть t = sin x. Тогда уравнение примет вид 12t^2 + 20sqrt(1 - t^2) - 19 = 0. Это уравнение нелинейное и его решение можно найти численными методами, например, методом Ньютона.

Уравнение можно переписать в виде 3sin^2 x + 14sin x cos x + 8cos^2 x = 0. Заметим, что это уравнение похоже на квадратное уравнение относительно sin x и cos x. Попробуем его решить как обычное квадратное уравнение.

Уравнение tg x = (10 ± sqrt(10^2 - 4 7 9)) / 14 = (10 ± sqrt(100 - 252)) / 14. Решив это квадратное уравнение, найдем два значения x: x1 = arctg(2/3), x2 = arctg(3/2).

Уравнение 5sin^2 x - 14(1 - sin^2 x) + 2 = 0 упрощается до -9sin^2 x + 12 = 0. Решив это уравнение, получим sin x = ±2/3. Тогда x1 = arcsin(2/3), x2 = arcsin(-2/3).

Уравнение 9cos^2 x - 4sin^2 x = 11sin^2 x + 9 упрощается до 9 - 4sin^2 x = 20sin^2 x. Решив это уравнение, получим sin x = ±3/5. Тогда x1 = arcsin(3/5), x2 = arcsin(-3/5).