В записи натурального числа нет девяток. Ваня взял несколько последних цифр этого числа, увеличил их на 1, и сложил получившееся число с изначальным. Могло ли получится число из одних четвёрок? Если да-пример, нет-докажите

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Предположим, что такое число существует. Пусть исходное число - $ABCD$, где $A, B, C, D$ - цифры.

Тогда после увеличения последних цифр на 1 получаем число $AB(C+1)(D+1)$.

Сложим его с изначальным числом:

$ABCD + AB(C+1)(D+1) = ABCD + 1000A + 100B + 10C + AD + A + BD + B + CD + C + 1$

Рассмотрим, какие цифры могут быть в таком числе. Так как в изначальном числе нет девяток, значит, максимальная цифра - 8. После прибавления 1 к последним цифрам, максимальная цифра станет 9, но так как нет девяток, то последние цифры могут быть только 0-8. Значит, при сложении максимальная цифра, стоящая на младшем разряде, будет 8.

Теперь рассмотрим сумму по разрядам:

$A$ слагаемых: $1000A$, $AD$, $A$, сумма будет оканчиваться на $4A$.

$B$ слагаемых: $100B$, $BD$, $B$, сумма будет оканчиваться на $4B$.

$C$ слагаемых: $10C$, $CD$, $C$, сумма будет оканчиваться на $4C$.

Таким образом, чтобы получить число, состоящее только из цифр 4, необходимо, чтобы оно заканчивалось на 4444. Но так как увеличение каждой последней цифры на 1 приведет к увеличению последней цифры числа на 4, такое число из четверок не может быть получено.

Значит, такое число не существует.