Найдите количество корней уравнения 2sin^2x+cos^2x+3sinxcosx=3 на промежутке [п/3; 3п]

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем данное уравнение:

2sin^2x + cos^2x + 3sinxcosx = 3
2sin^2x + (1-sin^2x) + 3sinxcosx = 3
2sin^2x + 1 - sin^2x + 3sinxcosx = 3
sin^2x + 1 + 3sinxcosx = 3
sin^2x + 3sinxcosx - 2 = 0

Теперь заметим, что данное уравнение представляет собой квадратное уравнение относительно sin(x), то есть asin^2(x) + bsin(x) + c = 0.

Тогда, a = 1, b = 3cos(x), c = -2.

Дискриминант D = b^2 - 4ac = (3cos(x))^2 - 41(-2) = 9cos^2(x) + 8.

Если уравнение имеет решения, то D >= 0.

Следовательно, 9cos^2(x) + 8 >= 0
cos^2(x) >= -8/9

Так как cos^2(x) находится в пределах [0; 1], то решения уравнения есть при -8/9 <= cos^2(x) <= 1.

То есть, уравнение имеет корни на всем промежутке [π/3; 3π].