В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла DAB и пересекает диагональ BD в точке K. Найдите BC, если известно , что AK=9 ,KC =3 и около четырехугольника ABCD можно описать окружность

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла DAB, то угол DAK равен углу BAC.

Так как около четырехугольника ABCD можно описать окружность, то угол ABC равен углу ADC (описанный угол).

Итак, угол ABC = угол ADC и угол DAK = угол BAC, следовательно, угол ABC = угол BAC = угол ADC.

Теперь обратим внимание на треугольник AKB. Угол BAK равен полусумме углов DAK и DAC, поэтому:

∠BAK = (1/2)(∠DAK + ∠DAC) = (1/2)(∠DAK + ∠DAC) = (1/2)(∠DAB) = ∠ABK.

Отсюда следует, что треугольник ABK равнобедренный и, как следствие, BD перпендикулярна к AC и, значит, угол BDC = 90 градусов.

Теперь воспользуемся угловой теоремой для квадратов BKCD и AKCD. В этих квадратах соответственно:

∠ADK + ∠DAK = 90° (у квадрата AKCD) и
∠KBC + ∠AKC = 90° (у квадрата BKCD).

Отсюда следует, что ∠DAK + ∠KBC = ∠AKC.

Известно, что ∠DAK = ∠KBC, следовательно, ∠DAK = ∠KBC = 45 градусов.

Теперь посчитаем длину стороны BC:

АК^2 = KA * KC = (3 + BC)(9 - BC) = 27.

Это уравнение можно упростить:

3(9 - BC) = 27,
27 - 3BC = 27,
3BC = 0,
BC = 0.

Итак, длина стороны BC равна 0.