Пусть k и n − взаимно простые натуральные числа. Пусть k и n − взаимно простые натуральные числа. Известно, что для некоторых целых чисел a и b верно, что a^k+b^k делится на 101 и a^n+b^n делится на 101. Докажите, что a+b делится на 101.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Поскольку k и n взаимно просты, то числа k и n взаимно просты с числом 100 (так как 100 = 225*5).

Из условия задачи мы знаем, что a^k + b^k делится на 101 и a^n + b^n делится на 101. Так как числа k и n взаимно просты с 100, то существуют такие числа m и l, что km ≡ 1 (mod 100) и nl ≡ 1 (mod 100).

Тогда можем записать a^k + b^k ≡ a^(km) + b^(km) ≡ a + b (mod 101)
и a^n + b^n ≡ a^(nl) + b^(nl) ≡ a + b (mod 101).

Отсюда следует, что a^k + b^k ≡ a^n + b^n (mod 101), а значит, a^k - a^n ≡ b^n - b^k (mod 101).

Рассмотрим выражение a^k - a^n = a^n(a^(k-n) - 1). Поскольку k и n взаимно просты, то a^(k-n) - 1 делится на 101. Таким образом, a^n(a^(k-n) - 1) делится на 101.

Но это означает, что a^n делится на 101, так как 101 - простое число и не является делителем числа a. Следовательно, a делится на 101.

Аналогично доказывается, что b также делится на 101. Так как a и b оба делятся на 101, то их сумма a + b также делится на 101.

Таким образом, доказано, что a + b делится на 101.