Решите уравнение, используя метод замены переменной:1-sin2x=cosx-sinxИспользуя метод разложения на множители, решите уравнение:Sin²3x+ sin²4x=sin²5x+sin²6xРешите данное уравнение тремя способами (формулы двойного угла, метод вспомогательного угла, универсальная тригонометрическая подстановка) и докажите, что полученные ответы совпадают:2sinx-3cosx=2

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Решение уравнения 1-sin2x=cosx-sinx с помощью метода замены переменной:

Давайте заменим sin2x = 2sinxcosx, чтобы преобразовать уравнение:

1 - 2sinxcosx = cosx - sinx

Перенесем все члены уравнения в одну сторону:

1 + sinx = 3sinxcosx

Теперь можем представить sinx как sin(2x)/2, так как sin(2x) = 2sinxcosx:

1 + sin(2x)/2 = 3sinx*cosx

Раскрываем sin(2x):

2 + sin(2x) = 6sinx*cosx

2sinxcosx = 6sinx*cosx

sinx = 0

x = 0 + nπ, где n - целое число.

Решение уравнения Sin²3x+ sin²4x=sin²5x+sin²6x с помощью метода разложения на множители:

Заметим, что данное уравнение похоже на уравнение Пифагора для синусов. Раскроем все sin² по формуле:

(sin3x - sin4x)(sin3x + sin4x) = (sin5x - sin6x)(sin5x + sin6x)

(sin3x - sin4x) = - (sin5x - sin6x)
(sin3x - sin4x) = sin6x - sin5x
sin3x - sin4x = sin6x - sin5x
sin3x - sin6x = sin4x - sin5x

Решение уравнения 2sinx - 3cosx = 2 тремя способами и доказательство их совпадения:

Формулы двойного угла:

2sinx - 3cosx = 2sinx - 3(2sinx) = 2sinx - 6sinx = -4sinx

-sinx = 2
sinx = -2

Решения нет, так как значение синуса не может превышать по модулю 1.

Метод вспомогательного угла:

Представим sinx и cosx через тангенс:

2sinx - 3(cosx) = 2sinx - 3(1 - tan²x) = 2sinx - 3 + 3tan²x

2sinx - 3 + 3tan²x = 2
3tan²x + 2sinx - 1 = 0

Это квадратное уравнение, решим его через дискриминант:

D = (2sinx)² - 43(-1) = 4sin²x + 12
D > 0, поэтому есть два корня, но так как sinx ∈ [-1, 1], уравнение не имеет решения.

Универсальная тригонометрическая подстановка:

Заменим sinx = t, тогда cosx = √(1 - t²):

2t - 3√(1 - t²) = 2

Решая это уравнение, получаем t = -1/4 или t = 1. Таким образом, sinx = -1/4 не имеет решения в данном уравнении.

Таким образом, все три метода дают одинаковый результат - уравнение не имеет решения.