Исследуйте функцию y=4lnx-x^2/2 на монотонность и экстремумы

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для исследования монотонности и экстремумов функции y=4ln(x)-x^2/2, сначала найдем производную этой функции:

y' = 4 * 1/x - x

Выражаем производную равной нулю для поиска критических точек:

4/x - x = 0
4 - x^2 = 0
x^2 = 4
x = ±2

Таким образом, критические точки функции находятся при x=2 и x=-2.

Теперь исследуем монотонность функции в каждом из интервалов:

1) Промежуток (-∞, -2):
Возьмем x = -3 (меньше -2) и x = -1 (меньше -2)
y'(-3) = 4 1/-3 - (-3) = -1.33
y'(-1) = 4 1/-1 - (-1) = - 3
Получаем, что производная убывает, что значит, что функция убывает на этом интервале.

2) Промежуток (-2, 2):
Возьмем x = 0 (меньше 2) и x = 1 (меньше 2)
y'(0) = 4 1/0 - 0 = ∞ (не является конечным значением)
y'(1) = 4 1/1 - 1 = 3
Получаем, что производная возрастает, что значит, что функция убывает на этом интервале.

3) Промежуток (2, +∞):
Возьмем x = 3 (больше 2) и x = 5 (больше 2)
y'(3) = 4 1/3 - 3 = -2.33
y'(5) = 4 1/5 - 5 = -4
Получаем, что производная убывает, что значит, что функция убывает на этом интервале.

Теперь найдем экстремумы функции:
Учитывая, что функция убывает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), можно сделать вывод, что у функции есть максимум в точке x=2 и минимум в точке x=-2.

Таким образом, функция y=4ln(x)-x^2/2 монотонно убывает на интервалах (-∞, -2) и (2, +∞), имеет максимум при x=2 и минимум при x=-2.