Докажите тождество: sin^2x + sin^4x + cos^2x - cos^4x = 1 - cos2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем левую часть выражения:

sin^2x + sin^4x + cos^2x - cos^4x = (sin^2x + sin^4x) + (cos^2x - cos^4x)

Преобразуем каждый из двух скобок:

sin^2x + sin^4x = sin^2x(1 + sin^2x) = sin^2x * cos^2x = 1 - cos^2x

cos^2x - cos^4x = cos^2x(1 - cos^2x) = cos^2x * sin^2x = sin^2x

Теперь подставим получившиеся значения:

(sin^2x + sin^4x) + (cos^2x - cos^4x) = (1 - cos^2x) + sin^2x = 1 - cos^2x + sin^2x

Так как по формуле сложения углов sin^2x + cos^2x = 1 , то

1 - cos^2x + sin^2x = 1 - cos^2x + (1 - cos^2x) = 2 - 2cos^2x = 2(1 - cos2x) = 2 - 2cos2x

Таким образом, левая часть равна правой, что и требовалось доказать.