В кубе ABCDA1B1C1D1, ребро которого 2√6, найдите расстояние от точки D до прямой CA1

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для нахождения расстояния от точки D до прямой CA1 воспользуемся формулой для расстояния от точки до прямой в пространстве.

Уравнение прямой CA1:
x = t,
y = 2,
z = 0,
где t - параметр.

Точка D:
x = 2√6,
y = 0,
z = 4.

Найдем вектор, направленный из точки D вдоль прямой CA1:
n = (t - 2√6)i + (2 - 0)j + (0 - 4)k = (t - 2√6)i + 2j - 4k.

Теперь найдем проекцию этого вектора на нормальный вектор прямой CA1:
n(CA1) = ((t - 2√6)1 + 20 + (-4)0) / √(1^2 + 2^2 + (-4)^2) = (t - 2√6) / √21.

Таким образом, расстояние от точки D до прямой CA1 равно |n*(CA1)| = |t - 2√6| / √21.

Так как мы ищем минимальное расстояние от точки D до прямой, найдем производную расстояния по параметру t и приравняем ее к нулю:
d/dt(|t - 2√6| / √21) = 0
= (1 / √21) * (t - 2√6) / |t - 2√6|
= (t - 2√6) / |t - 2√6|√21 = 0.

Отсюда следует, что t = 2√6. Подставляя этот параметр в уравнение прямой, получаем точку пересечения прямой с плоскостью D1A1C:
A1 (2√6, 2, 0).

Таким образом, расстояние от точки D до прямой CA1 равно расстоянию между точками D и A1:
d = √((2√6 - 2√6)^2 + (0 - 2)^2 + (4 - 0)^2) = √4 = 2.

Ответ: 2.