Сумма трех чисел, составляющих геометрическую прогрессию, равна 14. Если от первого числа отнять 15, а второе и третье увеличить соответственно на 11 и 5, то полученные три числа составят арифметическую прогрессию. Найдите исходные три числа.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть первое число прогрессии равно a, затем второе число равно ar, а третье число равно ar^2, где r - знаменатель прогрессии.

Тогда сумма трех чисел равна
a + ar + ar^2 = 14.

Отнимем 15 от первого числа и прибавим 11 ко второму и 5 к третьему
a - 15, ar + 11, ar^2 + 5.

Таким образом, получаем арифметическую прогрессию
(a - 15) + (ar + 11) + (ar^2 + 5) = 3ar + r - 4 = 3(a + ar + ar^2) - 4 = 3 * 14 - 4 = 42 - 4 = 38.

Следовательно, уравнения равенства сумм арифметической и геометрической прогрессий имеют вид
3ar + r - 4 = 38
a + ar + ar^2 = 14.

Из первого уравнения
3ar + r = 42
r(3a + 1) = 42
r = 42 / (3a + 1).

Подставим r во второе уравнение
a + a(42 / (3a + 1)) + a(42 / (3a + 1))^2 = 14
a + 42a / (3a + 1) + 42a^2 / (3a + 1)^2 = 14
(3a^2 + 1)(3a + 1) + 42a / (3a + 1) = 14(3a + 1)^2
9a^2 + 3a + 3(3a^2 + 1) + 42a = 14(9a^2 + 6a + 1)
9a^2 + 3a + 9a^2 + 3 + 42a = 126a^2 + 84a + 14
18a^2 + 45a - 11 = 0.

Решив квадратное уравнение, найдем
a1 ≈ 0.4217
a2 ≈ -2.0472.

Так как числа образуют геометрическую прогрессию, первый корень не может быть отрицательным. Подставим a1 в уравнение r = 42 / (3a + 1)
r ≈ 3.7718.

Теперь найдем числа прогрессии
a = 0.4217
ar ≈ 1.5906
ar^2 ≈ 5.9997.

Исходные три числа
0.4217, 1.5906 и 5.9997.