Таким образом, уравнение имеет два корня: x1 = 3 и x2 = 1/2.
Теперь определим интервалы, в которых неравенство 2x^2 - 7x + 3 < 0 выполняется. Для этого построим знаки данного многочлена на промежутках, разбитых корнями уравнения:
- - +
x1 x2 x1
Таким образом, неравенство 2x^2 - 7x + 3 < 0 выполняется на интервалах (-∞, 1/2) и (3, +∞).
Теперь перейдем ко второму уравнению:
5 + x > 3x - 3(4x + 5)
Упростим:
5 + x > 3x - 12x - 15 5 + x > -9x - 15
Добавим 9x к обеим частям неравенства:
5 + x + 9x > -15 10x + 5 > -15
Вычитаем 5 из обеих частей неравенства:
10x > -20
Делим на 10:
x > -2
Итак, решение неравенства это x > -2.
Поэтому неравенство второго уравнения выполняется при x > -2.
В итоге, решение системы неравенств: -2 < x < 1/2 или x > 3.
Начнем с первого неравенства:
2x^2 - 7x + 3 < 0
Сначала найдем корни квадратного уравнения 2x^2 - 7x + 3 = 0:
D = (-7)^2 - 423 = 49 - 24 = 25
x1,2 = (7 +- sqrt(25)) / (2*2) = (7 +- 5) / 4
x1 = 3
x2 = 1/2
Таким образом, уравнение имеет два корня: x1 = 3 и x2 = 1/2.
Теперь определим интервалы, в которых неравенство 2x^2 - 7x + 3 < 0 выполняется. Для этого построим знаки данного многочлена на промежутках, разбитых корнями уравнения:
- - +x1 x2 x1
Таким образом, неравенство 2x^2 - 7x + 3 < 0 выполняется на интервалах (-∞, 1/2) и (3, +∞).
Теперь перейдем ко второму уравнению:
5 + x > 3x - 3(4x + 5)
Упростим:
5 + x > 3x - 12x - 15
5 + x > -9x - 15
Добавим 9x к обеим частям неравенства:
5 + x + 9x > -15
10x + 5 > -15
Вычитаем 5 из обеих частей неравенства:
10x > -20
Делим на 10:
x > -2
Итак, решение неравенства это x > -2.
Поэтому неравенство второго уравнения выполняется при x > -2.
В итоге, решение системы неравенств:
-2 < x < 1/2 или x > 3.