Для доказательства тождества (1) воспользуемся формулой тангенса двойного угла:

tg(2x) = (2tg(x))/(1-tg^2(x))

Преобразуем выражение (1-cos(2x))/(1+cos(2x)) к виду тангенса двойного угла:

(1-cos(2x))/(1+cos(2x)) = (1-2cos^2(x)+1) / (1-2sin^2(x)+1) = ((2(1-sin^2(x))/cos^2(x))/(2(1-cos^2(x))/cos^2(x)) = (2tg^2(x))/(1-tg^2(x))

Таким образом, доказано тождество (1):

(1-cos(2x))/(1+cos(2x)) = tg^2(x)