Вычислить сумму ряда n=1 до бесконечности 1/(n(n+1)(n+2)) Вычислить сумму ряда n=1 до бесконечности 1/(n(n+1)(n+2))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения этой задачи воспользуемся методом частичных сумм.

Сначала выразим каждый элемент ряда в виде суммы дробей:

1/(n(n+1)(n+2)) = 1/2 * [1/n - 2/(n+1) + 1/(n+2)]

Теперь вычислим сумму всех членов ряда:

S = 1/2 * [1/1 - 2/2 + 1/3 + 1/2 - 2/3 + 1/4 + 1/3 - 2/4 + 1/5 + ...]

Теперь группируем члены ряда и упростим выражение:

S = 1/2 * [1/1 + 1/2 - 2/2 - 2/3 + 1/3 + 1/4 - 2/4 - 2/5 + 1/5 + ...]

S = 1/2 * [1 - 1/2 - 1/3]

S = 1/2 - 1/4 - 1/6

S = 1/2 - 1/4 - 1/6 = 1/4

Таким образом, сумма данного ряда равна 1/4.