Вычислить площадь заключённую между параболами y=x^2, y=x^2 / 2 и прямой y=2x

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения данной задачи нам необходимо найти точки пересечения двух парабол и прямой.

Параболы y = x^2 и y = x^2 / 2 пересекаются в точках, где у них равны значения y:

x^2 = x^2 /
2x^2 = x^
2x^2 - x^2 =
x^2 =
x = 0

То есть они пересекаются в точке (0, 0).

Теперь найдем точку пересечения параболы y = x^2 и прямой y = 2x:

x^2 = 2
x^2 - 2x =
x(x - 2) =
x = 0 или x = 2

То есть прямая y = 2x пересекает параболу y = x^2 в точках (0, 0) и (2, 4).

Теперь найдем площадь фигуры, ограниченной параболами y = x^2 и y = x^2 / 2, а также прямой y = 2x. Площадь можно найти как разность площадей фигур, заключенных между кривыми и у прямой, используя приращение x.

Площадь = ∫[0, 2](x^2 - x^2 / 2 - 2x) dx = ∫0, 2x^2 - 2x d
Площадь = (1/6)x^3 - x^2 |[0, 2] = (1/6)(2)^3 - (2)^2 - 0 = 8/3 - 4 = 8/3 - 12/3 = -4/3

Итак, площадь между параболами y = x^2, y = x^2 / 2 и прямой y = 2x равна -4/3.