Геометрия... ПОДГОТОВКА К ЭКЗАМЕНУ Задача 2:
Основание пирамиды – прямоугольник с большей стороной 12√3 м и углом
между диагоналями 120(градус.). Каждое боковое ребро пирамиды равно 20 м.
Найдите объем пирамиды.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи нам необходимо найти высоту пирамиды. Обозначим высоту через h.

Так как основание пирамиды - прямоугольник с большей стороной 12√3 м, то его диагонали равны 12√3 м и 12 м. По теореме косинусов можем найти длину стороны прямоугольника:
(12√3)^2 = 12^2 + a^2 - 212acos(120)
432 = 144 + a^2 + 24a(-1/2)
а = √468 = 6√13

Таким образом, меньшая сторона прямоугольника равна 6√13 м.

Так как угол между диагоналями прямоугольника равен 120 градусам, то треугольник, образованный высотой, боковым ребром и полудиагональю, является равнобедренным. Тогда можем составить прямоугольный треугольник с катетами 6√13 м и h, гипотенуза которого равна 20 м. Таким образом, по теореме Пифагора:
h^2 + (6√13)^2 = 20^2
h^2 + 468 = 400
h^2 = 32
h = √32 = 4√2

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = (1/3) S_base h
V = (1/3) 12√3 6√13 4√2
V = 48√(3132)
V = 48√(78)
V = 48√78

Ответ: объем пирамиды равен 48√78 м³.