1) lim (стремится к 0) ((1/sinx)-ctgx)2) lim (стремится к 0) (sin3x-sin2x)/ln(1+tg3x)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) При x стремящемся к 0, sinx также стремится к 0, а ctgx стремится к бесконечности. Поэтому (1/sinx)-ctgx = 1/0 - бесконечность, что неопределено. Мы можем попытаться упростить выражение, чтобы выразить его в более удобной форме.

Для этого запишем (1/sinx)-ctgx как (cosx - sinx)/ (sinx*cosx). Затем можно преобразовать это выражение к виду:

(cosx - sinx)/(sinxcosx) = (cosx(1-tgx))/ (sinx*cosx) = (1 - tgx)/sinx

Теперь подстановка x=0 даёт (1 - tg0) / 0 = 1/0 - непределено. Следовательно, предельное значение выражения не существует.

2) Разложим sin3x на sin2x и sinx:

sin3x = sin2xcosx + cos2xsinx = 2sinxcosxcosx + (1-2sin^2(x))sinx
sin3x = 2sinx*cos^2(x) + sinx - 2sin^3(x)

Теперь подставим разложение в выражение:

(sin3x - sin2x) / ln(1+tg3x) = ((2sinxcos^2(x) + sinx - 2sin^3(x)) - sin2x) / ln(1+tg3x)
= (2sinxcos^2(x) - sinx + sin2x - 2sin^3(x)) / ln(1+tg3x)
= (sinx(2cos^2(x) - 1 + 2cosx - 2sin^2(x)) / ln(1+tg3x)
= sinx (2cos^2(x) + 2cosx - 3) / ln(1+tg3x)

Теперь подставим x=0:

sinx (2cos^2(x) + 2cosx - 3) / ln(1+tg3x) = 0(21 + 21 - 3) / ln(1+0) = 0

Поэтому предел данного выражения при x стремящемся к 0 равен 0.