О функции f(x), заданной на всей вещественной прямой, известно, что при любом a > 1 функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой. Докажите, что f(x) также непрерывна на всей прямой.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для доказательства непрерывности f(x) на всей прямой воспользуемся теоремой о непрерывности композиции функций.

Из условия известно, что функция f(x) + f(ax) непрерывна на всей прямой для любого a > 1. Пусть g(x) = f(x) + f(ax), тогда g(x) непрерывна на всей прямой.

Так как g(x) непрерывна на всей прямой, то для любого ε > 0 найдется δ > 0 такое, что если |x - x0| < δ, то |g(x) - g(x0)| < ε.

Для нашей функции f(x) это означает, что если |x - x0| < δ, то |f(x) + f(ax) - f(x0) - f(ax0)| < ε.

Рассмотрим выражение |f(x) - f(x0)|. Заметим, что при выборе a = 1 оно равно |f(x) - f(x0)| < ε. С другой стороны, пользуясь тем, что g(x) = f(x) + f(ax), можем переписать его так: |f(x) - f(x0)| = |g(x) - g(x0)| < ε.

Таким образом, для произвольного ε > 0 найдется δ > 0 такое, что если |x - x0| < δ, то |f(x) - f(x0)| < ε, что и означает непрерывность f(x) на всей прямой.