В треугольнике ABC с прямым углом B проведена биссектриса AM, причём BM = 5см. Найдите расстояние от точки M до прямой AC
(можно чертёж еще)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Чтобы найти расстояние от точки M до прямой AC, нам нужно найти длину высоты из вершины B на сторону AC.

Поскольку AM - биссектриса угла A, угол ABM равен углу MBA. Также угол AMB = 90 - угол ABC

Из соотношений в прямоугольном треугольнике ABM мы можем найти длину стороны AM:
sin(ABM) = BM / AM
sin(ABM) = 5 / AM
AM = 5 / sin(ABM)

Из тех же соотношений можем выразить сторону CM:
sin(AMC) = AM / 5
AM = 5 * sin(AMC)

Так как угол ABC равен сумме углов AMB и AMC, то sin(ABC) = sin(AMB + AMC) = sin(90 - ABC) = cos(ABC)

Теперь рассмотрим треугольник AMC:
Расстояние от точки M до прямой AC равно 5 - CM

Из соотношений треугольника AMC находим длину стороны CM:
CM = AM sin(ABC) = 5 sin(AMC) * cos(ABC)

Подставляем найденные значения:
CM = 5 sin(AMC) cos(ABC) = 5 sin(AM / 5) cos(ABC)
Известно, что sin(ABM) = BM / AM = 5 / AM
Следовательно, sin(ABM) = 5 / (5 sin(AMC))
sin(ABM) = 1 / sin(AMC) => sin(AMC) = 1 / sin(ABM)
Также, мы уже выразили cos(ABC) через sin(AMC),
sin(ABC) = cos(ABC) => sin(90 - ABC) = cos(ABC)
sin(90 - ABM) = cos(ABC) = sin(ABM) = 5 / (5 sin(AMC)) = 5 sin(ABC) / 5
Таким образом:
CM = 5 sin(AMC) cos(ABC) = 5 sin(AMC) sin(ABC) = 5 1 / sin(ABM) * sin(ABM) = 5

Ответ: расстояние от точки M до прямой AC равно 5 см.