Задача по стереометрии. Многогранники. Ребро правильного октаэдра равно 1м. Определить расстояние между двумя его противолежащими вершинами. (я понимаю, что там диагонали вычисляются из квадрата, но мне нужно доказать, что это квадрат)

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала обозначим вершины правильного октаэдра как A, B, C, D, E, F, G, H, таким образом, что ребро составляет сторону октаэдра.

Теперь построим диагональ AC, которая соединяет вершины A и C
Так как октаэдр является правильным многогранником, то треугольник ABC также является равносторонним
Соединим середины отрезков AC и BC и обозначим полученную точку как O.

Теперь рассмотрим треугольник AOC. Поскольку треугольник ABC является равносторонним, то у него все стороны равны, включая стороны AC и BC, равные диагонали октаэдра. Таким образом, треугольник AOC также является равносторонним.

Из равностороннего треугольника очевидно, что диагонали являются биссектрисами углов при основании, а также медианами
Это значит, что точка O является и центром окружности, описанной вокруг треугольника AOC. Далее, можно заметить, что точка O делит диагональ AC пополам в точке O, так как треугольник AOC является равносторонним.

Теперь рассмотрим треугольник ADO, который также является равносторонним, так как это треугольник противоположный треугольнику AOC
Таким образом, мы можем заметить, что точка O также является серединой диагонали AD.

Следовательно, мы доказали, что диагонали октаэдра, соединяющие противоположные вершины, пересекаются в точке O, которая является серединой диагонали. Это означает, что диагонали являются перпендикулярами, и их точка пересечения является центром окружности, описанной около треугольника AOC (или ADO). Таким образом, расстояние между противоположными вершинами правильного октаэдра равно длине диагонали треугольника AOC (или ADO), которую мы можем найти как
AC = √2 * AB.

Таким образом, расстояние между противоположными вершинами правильного октаэдра равно √2 м.