1) В трапеции одна из диагоналей делит среднюю линию на отрезки 10 и 6
Найдите большее основание трапеции 2) Точка Е лежит на стороне AD, а точка F на стороне BC параллелограмма ABCD. Причём АЕ=ЕD, а BF:FC=4:
Выразите вектор EF через векторы m=AB и n=AD

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

1) В трапеции обозначим основания как ( a ) и ( b ) (где ( a > b )), а среднюю линию как ( m ). Поскольку одна из диагоналей делит среднюю линию на отрезки 10 и 6, сумма этих отрезков равна длине средней линии:

m = \frac{a + b}{2} = 10 + 6 = 16
]

Таким образом, у нас есть:

a + b = 2m = 2 \cdot 16 = 32
]

С учетом гибкости выбора оснований, мы можем выразить одно из них через другое:

a = 32 - b
]

В данной задаче требуется найти большее основание. Если ( a > b ), то ( a ) должно быть больше 16.

Если мы предположим ( b = 8 ) (так как ( b = 32 - a )), то:

a = 32 - 8 = 24
]

Таким образом, большее основание ( a ) равно 24.

Ответ: большее основание трапеции равно 24.

2) В параллелограмме обозначим точки: ( A ) — ( A ), ( B ) — ( B ), ( C ) — ( C ), ( D ) — ( D ). Обозначим векторы следующим образом: ( \mathbf{m} = \overrightarrow{AB} ) и ( \mathbf{n} = \overrightarrow{AD} ). Точка ( E ) делит отрезок ( AD ) пополам, это можно записать как:

\overrightarrow{AE} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AD} = \frac{1}{2} \mathbf{n}
]

Точка ( F ) делит отрезок ( BC ) в отношении ( 4:3 ). Вектор ( \overrightarrow{BF} ) можно выразить как:

\overrightarrow{BF} = \frac{4}{4+3} \overrightarrow{BC} = \frac{4}{7} \overrightarrow{BC}
]

Поскольку ( \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AD} = \mathbf{m} + \mathbf{n} ), то имеем:

\overrightarrow{BF} = \frac{4}{7} (\mathbf{m} + \mathbf{n})
]

Теперь у нас будет:

\overrightarrow{AF} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BF} = \mathbf{m} + \frac{4}{7} (\mathbf{m} + \mathbf{n}) = \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n}
]

Теперь соберем аналогично:

\overrightarrow{AF} = \left(1 + \frac{4}{7}\right) \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n}
]

Теперь, чтобы найти ( \overrightarrow{EF} ):

\overrightarrow{EF} = \overrightarrow{AF} - \overrightarrow{AE} = \left(\frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{4}{7} \mathbf{n}\right) - \left(\frac{1}{2} \mathbf{n}\right)
]

Приведем (\frac{1}{2}) к общему знаменателю:

\overrightarrow{EF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \left(\frac{4}{7} - \frac{3.5}{7}\right) \mathbf{n} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{0.5}{7} \mathbf{n} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{1}{14} \mathbf{n}
]

Ответ: ( \overrightarrow{EF} = \frac{11}{7} \mathbf{m} + \frac{1}{14} \mathbf{n} ).