Задача по теории вероятности Два автомата производят детали, которые поступают на общий конвейер. Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате равна 0,8 на втором – 0,9. Производительность первого автомата впятеро выше производительности второго. Рабочий взял наугад деталь, и она оказалась стандартной. Какова вероятность, что эта деталь изготовлена вторым автоматом?

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для решения задачи применим формулу Байеса и теорию вероятностей. Обозначим события:

( A_1 ): деталь изготовлена первым автоматом.( A_2 ): деталь изготовлена вторым автоматом.( B ): деталь стандартная.

Из условия задачи известны вероятности:

Вероятность получения нестандартной детали на первом автомате ( P(B'|A_1) = 0.8 ), значит, стандартной будет ( P(B|A_1) = 1 - P(B'|A_1) = 1 - 0.8 = 0.2 ).Вероятность получения нестандартной детали на втором автомате ( P(B'|A_2) = 0.9 ), значит, стандартной будет ( P(B|A_2) = 1 - P(B'|A_2) = 1 - 0.9 = 0.1 ).

Также знаем, что производительность первого автомата в 5 раз выше, чем второго. Поэтому:

Пусть производительность второго автомата равна ( x ), тогда производительность первого автомата равна ( 5x ).Вероятности выбора деталей из каждого автомата зависят от их производительности:

[
P(A_1) = \frac{5x}{5x + x} = \frac{5}{6}, \quad P(A_2) = \frac{x}{5x + x} = \frac{1}{6}.
]

Теперь можем найти ( P(B) ) — общую вероятность того, что деталь стандартная:

[
P(B) = P(B|A_1) P(A_1) + P(B|A_2) P(A_2).
]

Подставляем значения:

[
P(B) = P(B|A_1) P(A_1) + P(B|A_2) P(A_2) = 0.2 \cdot \frac{5}{6} + 0.1 \cdot \frac{1}{6}.
]

Считаем:

[
P(B) = \frac{1}{30} + \frac{1}{60} = \frac{2}{60} + \frac{1}{60} = \frac{3}{60} = \frac{1}{20}.
]

Теперь можем воспользоваться формулой Байеса, чтобы найти ( P(A_2|B) ):

[
P(A_2|B) = \frac{P(B|A_2) P(A_2)}{P(B)}.
]

Подставляем известные значения:

[
P(A_2|B) = \frac{P(B|A_2) P(A_2)}{P(B)} = \frac{0.1 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{20}}.
]

Считаем числитель и знаменатель:

[
P(A_2|B) = \frac{0.1 \cdot \frac{1}{6}}{\frac{1}{20}} = \frac{0.1 \cdot 20}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}.
]

Таким образом, вероятность того, что стандартная деталь была изготовлена вторым автоматом, составляет ( \frac{1}{3} ).