Доказать тождество ((cosa-cos4a+cos7a-cos10a))/(sina+sin4a+sin7a+sin10a))=tg1.5a Доказать тождество ((cosa-cos4a+cos7a-cos10a))/(sina+sin4a+sin7a+sin10a))=tg1.5a

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала преобразуем левую часть равенства:

((cos a - cos 4a + cos 7a - cos 10a) / (sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a))

Применим формулу синуса разности для косинусов:

cos a - cos 4a = -2sin((a+4a)/2)sin((a-4a)/2) = -2sin(2.5a)sin(-1.5a) = 2sin(2.5a)sin(1.5a) = 2sin(2.5a)cos(1.5a)

cos 7a - cos 10a = -2sin((7a+10a)/2)sin((7a-10a)/2) = -2sin(8.5a)sin(-1.5a) = 2sin(8.5a)sin(1.5a) = 2sin(8.5a)cos(1.5a)

Подставляем полученные значения обратно в выражение:

((2sin(2.5a)cos(1.5a) + 2sin(8.5a)cos(1.5a)) / (sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a))

Выносим общий множитель cos(1.5a) за скобки:

(2cos(1.5a)(sin(2.5a) + sin(8.5a)) / (sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a))

Применяем формулу синуса суммы:

sin(2.5a) + sin(8.5a) = 2sin((2.5a + 8.5a)/2)cos((8.5a - 2.5a)/2) = 2sin(5.5a)cos(3a) = 2sin(5.5a)sin(1.5a)

Подставляем полученное значение обратно в выражение:

(2cos(1.5a)(2sin(5.5a)sin(1.5a)) / (sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a))

Сокращаем множители sin(1.5a) и получаем:

4cos(1.5a)sin(5.5a) / (sin a + sin 4a + sin 7a + sin 10a))

Теперь рассмотрим правую часть:

tg(1.5a) = sin(1.5a) / cos(1.5a)

Умножим числитель и знаменатель на 4cos(1.5a) и получим:

4sin(1.5a)cos(1.5a) / (4cos(1.5a)sin(1.5a))

Сокращаем множители sin(1.5a) и получаем:

4cos(1.5a)sin(1.5a) / 4cos(1.5a)sin(1.5a)

Таким образом, левая и правая части равенства совпадают, что и требовалось доказать.