В остроугольном треугольнике abc проведены высота bh и биссектриса ad, пересекающиеся в точке o. оказалось что угол aob в четыре раза больше угла dab. чему равен угол cab.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Обозначим угол CAB = x, угол AOB = 4y, угол DAB = y.

Так как угол AOB в четыре раза больше угла DAB, то 4y = 4y.

Так как треугольник ABC остроугольный, то сумма углов треугольника равна 180 градусов:

x + y + 4y = 180
x + 5y = 180

Так как угол AOB вписанный в окружность, то угол AOB = 2x.

Заметим, что треугольники AHB и ADC подобны (по двум углам), поэтому соответственные стороны обзиянны:

AH/AD = HB/DC = BA/AC

AH/AD = BH/AB
AH/AC = BH/BA
АС/AB = DC/DB

AH/AD = BH/AB
AH/(AH + HD) = BH/(BA + AH)

Углы AHB и BAC смежные, следовательно, они дополняют друг друга, т.е. недостающие значения:

y = 180 - x
4y = 4 (180 - x)
4x - x = 4(180 - x) - 180
3x 4 = 720 - 4x - 180
12x = 540
x = 45

Ответ: Углу CAB равен 45 градусов.