Задача по геометрии. (Метод координат) Высота, проведенная к гипотенузе прямоугольного треугольника, делит ее на части 9см и 16см. Из вершины большего острого угла треугольника проведена прямая, проходящая через середину высоты. Найти длину отрезка этой прямой, заключенного внутри данного прямоугольного треугольника.

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Пусть треугольник ABC прямоугольный, причем AB - гипотенуза, а H - высота, проведенная к гипотенузе. Пусть точка M - середина высоты H.

Так как высота H делит гипотенузу на отрезки длиной 9см и 16см, то можно записать следующее:

AH =
HB = 16

Также из свойств подобных треугольников можно записать:

AM/MH = HB/AH

AM/MH = 16/9

Так как точка M - середина высоты H, то AM = HM. Обозначим длину этого отрезка как х. Тогда AM = HM = x, и AM = 0.5*AH = 4.5.

Теперь посмотрим на треугольник АМС, где C - точка пересечения прямой, проходящей из вершины угла А и точки M, с гипотенузой. Треугольники АМС и АНВ подобны, так как угол AMC = угол ANB = 90°, а угол АМС = угол ANB, так как СМ || NB.

Из подобия треугольников имеем:

AM/MC = AH/AB

4.5/(AB - x) = 9/25

4.5 = (9(AB - x))/25

112.5 = 9AB - 9x

Теперь воспользуемся теоремой Пифагора для треугольника ABC:

AB^2 = AH^2 + HB^2

AB^2 = 9^2 + 16^2

AB = sqrt(81 + 256) = sqrt(337)

Теперь подставим значения AB и 112.5 в уравнение:

sqrt(337) = 9*sqrt(337)/25 - 9x/25

sqrt(337) = 9*sqrt(337)/25 - 9x/25

25sqrt(337) = 9sqrt(337) - 9x

16*sqrt(337) = 9x

x = 16*sqrt(337)/9

x ≈ 29.1

Ответ: длина отрезка прямой, заключенного внутри данного прямоугольного треугольника, равна примерно 29.1 см.