Как я могу показать, что ∫(-∞,∞) 2^(-x^2)*e^(-ix^2) dx=√(π/(ln(2)+i))

Предыдущий
вопрос Следующий
вопрос

Для начала, представим интеграл как комплексный интеграл, заменив x^2 = -z:

∫(-∞,∞) 2^(-x^2)e^(-ix^2) dx = ∫(-∞,∞) 2^(z)e^i*z dz

Теперь рассмотрим контурный интеграл этой функции по контуру, который мы выберем в виде полуокружности в верхней полуплоскости с радиусом R, замыкающегося на себя в нижней полуплоскости. Такой контур будет выглядеть как полукруг с радиусом R в верхней полуплоскости и отрезок вдоль вещественной оси от -R до R.

Интеграл по такому контуру будет равен 2πi умноженное на сумму вычетов внутри контура. Основное соображение здесь заключается в том, что на отрезке вдоль вещественной оси невозможно определить вычет функции 2^(z)e^iz в каждой точке. Однако, интеграл по дуге асимптотически стремится к нулю при R -> ∞. Таким образом,

∫по контуру 2^(z)e^iz dz = 0

Теперь, разложим функцию под интегралом в ряд Тейлора:

2^(z)e^iz = e^(ze^iln(2)) = e^(z(cos(ln(2)) + isin(ln(2)))

Теперь для нахождения вычетов функции 2^(z)e^iz раскладываем эту функцию в ряд Тейлора и находим вычеты в участках сингулярности, которые в данном случае будут находится в точках z = iπ(2n + 1), где n - натуральное число. Теперь мы найдем сумму этих вычетов и умножим на 2πi:

Res(2^(z)e^iz, iπ(2n + 1)) = e^(iπ(2n + 1)(cos(ln(2)) + i*sin(ln(2)))

Теперь, беря сумму всех вычетов и умножая на 2πi, мы получим искомое значение:

∫(-∞,∞) 2^(-x^2)e^(-ix^2) dx = 2πi(e^(iπ(cos(ln(2)) + isin(ln(2))) + e^(-iπ(cos(ln(2)) + isin(ln(2))) + e^(3iπ(cos(ln(2)) + isin(ln(2))) + e^(-3iπ(cos(ln(2)) + isin(ln(2))) + ...)

Это значение есть корень из выражения π/(ln(2) + i), как требовалось доказать.